Около шара радиуса R описан правильный тетраэдр. Найдите площадь поверхности тетраэдра.

Если воспользоваться готовой формулой для радиуса вписанной в правильный тетраэдр сферы - то всё попроще. но попробуем обойтись без этой формулы.на первом рисунке изображён тетраэдр и сечение вписанной сферы плоскостью СРТНиз красный, верх синийПримем сторону тетраэдра за 1. тогда в треугольнике АКР АР = 1/2∠РАК = 30°КР/АР = tg(30) = 1/√3КР = 1/(2√3)КР/АК = sin(30°)АК = 2*КР = 1/√3И так как К - точка пересечения медиан основания, то СК = АК = 1/√3Переходим к ΔАРТРТ²+АР² = АТ²РТ² + 1/4 = 1РТ² = 3/4РТ = √3/2Переходим к ΔКРТКТ²+1/(2√3)² = (√3/2)²КТ²+1/(4*3) = 3/4КТ² = 3/4-1/12 = 9/12-1/12 = 8/12 = 2/3КТ = √(2/3) - это высота пирамидыПора искать радиус вписанной сферыΔКРТ и ΔХОТ подобны - общий угол Т, по прямому углу и третий угол равен в силу того, что два равны и сумма углов треугольника 180°ОХ = ОК = rКР/ОХ = РТ/ОТ1/(2√3)/r = √3/2/(√(2/3)-r)(√(2/3)-r)/(2√3) = √3/2*r√(2/3)-r = 2√3√3/2*r√(2/3)-r = 3r√(2/3) = 4rr = 1/(2√2√3) = 1/(2√6)Хорошо :)В правильный тетраэдр с единичным ребром можно вписать сферу радиуса 1/(2√6)Если радиус сферы R, то ребро тетраэдра будет a = 1/(1/(2√6)) = 2√6площадь одной грани S₁ = 1/2*a²*sin(60°) = 2*6*√3/2 = 6√3И полна плошадь тетраэдра в 4 раза большеS = 24√3