Дам 60 баллов (!)за ясный обоснованный ответ(!), Геометрия, 9 класс.
Я нашла в интернете формулы радиуса описанной и вписанной окружности в правильный треугольник, а так же как высчитать его высоту:
R= (√3/3) * а
r= (√3/6) * а
h= (√3/2) * a
Пролазила все возможные сайты, но нигде нет объяснений, почему именно числа √3, 6, 2, и тд. есть в этих формулах.
Буду очень признательна если кто-нибудь объяснит.

ох, для моего мозга это так сложно, но по крайней мере это лучшее объяснение, спасибо огромное! постараюсь разобраться более детально)

cпрашивай там, если нужно

хорошо, обязательно

Дело было  так

1)Опускаем высоту в треугольнике, не важно какую, он правильный

получаем треугольник ABH, где угол H = 90, A=60, B=30

теперь по теореме синусов находим саму высоту

h/sin60=a/sin90;

h=a*sin60=a*(√3/2)

2)Радиус вписанно можно найти отсюда же, опускаем вторую высоту. Т.к. треугольник правильный, эта высота так же является и медианой, и соответственно пересечением они делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть мы просто делим h на 3

r=h/3=a*(√3/6)

3)Радиус описанной так же отсюда

только она составляет не треть, от высоты, а две трети

R=h*2/3=a*(√3/3)