Даны вершины треугольной пирамиды
A(-4;-7,8), B(-1,10;-2), C(-3;-6,7), D(-6;1,7).
Найти: 1) длину ребра AD. 2) Объем пирамиды ABCD. 3) угол α между ребрами AC и AD. 4) Уравнение плоскости BCD. 5) Уравнение прямой AC. 6) острый угол φ между ребром AD и гранью ABC. 7) Уравнение высоты , опущенной из вершины D на грань ABC.

Даны вершины треугольной пирамиды

A(-4;-7,8), B(-1,10;-2), C(-3;-6,7), D(-6;1,7).

1) Длина ребра AD = √(-6-(-4))² + (1 - (-7))² + (7 - 8)²) = √(4 + 64 + 1) = √69.

2) Объем пирамиды ABCD.

Определяем координаты векторов АВ и АС:

АВ = (3; 17; -10),   АС = (1; 1; -1). Векторное произведение (АВ х АС) равно:

  x      y       z        x        y          =  -17x - 10y + 3z + 3y + 10x - 17z =

 3       17     -10     3       17           = - 7x - 7y - 14z  =  (-7; -7; -14).  

 1        1        -1      1         1 =

Определяем координаты вектора АД = (-2; 8; -1).

Смешанное произведение (АВ х АС) х АД = -7*(-2) - 7*8 - 14*(-1) = 14 -56 + 14 = -28. Объём пирамиды равен V = (1/6)*|-28| = 28/6 = 14/3 куб.ед.

3) Угол α между ребрами AC и AD через скалярное произведение векторов.  

АС = (1; 1; -1), |АС| = √3.  АД = (-2; 8; -1), |АД| = √(4 + 64 + 1) = √69.

cos α = (1*(-2)+1*8+(-1)*(-1))/(√3*√69) = 7/(3√23) ≈ 0,486534.

α = arc cos 0,486534 = 1,062679 радиан = 60,887 градуса.

4) Уравнение плоскости BCD.

Для составления уравнения плоскости используем формулу по трём точкам с использованием матрицы:

x - xВ y - yВ z - zВ

xС - xВ yС - yВ zС - zВ

xД - xВ yД - yВ zД - zВ  = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-1) y - 10 z - (-2)

(-3) - (-1) (-6) - 10 7 - (-2)

(-6) - (-1) 1 - 10 7 - (-2)    = 0

x - (-1) y - 10 z - (-2)

-2         -16            9

-5             -9            9     = 0

 x - (-1)  -16·9-9·(-9)  -  y - 10  (-2)·9-9·(-5)  +  z - (-2)  (-2)·(-9)-(-16)·(-5)  = 0

(-63) x - (-1)  + (-27) y - 10  + (-62) z - (-2)  = 0

 - 63x - 27y - 62z + 83 = 0.

5) Уравнение прямой AC: (x + 4)/1 = (y + 7)/1= (z - 8)/-1.

6) Острый угол φ между ребром AD и гранью ABC.

Уравнение прямой AД: (x + 4)/-2 = (y + 7)/8= (z - 8)/-1.

Уравнение плоскости AВС:

x+4       y+7    z-8

3      17   -10

1       1            -1       = 0

(x+4)(17(-1)-1(-10)) - (y+7)(3(-1)-1(-10)) + (z-8)(3*1-1*17) = -7x - 7y - 14z + 35 = 0  

Упростим выражение: -x - y - 2z + 5 = 0  

Найдем угол между прямой  (x + 4)/-2 = (y + 7)/8= (z - 8)/-1  и плоскостью

- x - y - 2z + 5 = 0.

Направляющий вектор прямой имеет вид: s =  -2; 8; -1  

Вектор нормали плоскости имеет вид: q =  -1; -1; -2.  

Вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:

sin φ = |cos ψ| =   | s · q |/| s |·| q |  =

=   | sx · qx + sy · qy + sz · qz | √(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)  =

=   | (-1) · (-2) + (-1) · 8 + (-2) · (-1) | /(√((-1)² + (-1)² + (-2)²) · √((-2)² + 8² + (-1)²))  =

=   | 2 - 8 + 2 |/(√(1 + 1 + 4)· √(4 + 64 + 1))  =   4/(√6 · √69)  =

=   4 /√414  =   2√46/ 69  ≈ 0,196589.

φ = 11,33758°

7) Уравнение высоты , опущенной из вершины D( -6; 1; 7) на грань ABC.

Прямая, проходящая через точку Д(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C)

Уравнение плоскости AВС: -x - y - 2z + 5 = 0.

(x - xo)/A = (y - yo)/B = (z - zo)/C. Подставим данные в формулу и получим уравнение высоты ДО:

(x +6)/-1 = (y - 1)/-1 = (z - 7)/-2.