Медианы aa1 cc1 равнобедренного треугольника abc,основанием которого является отрезок ac,пересекаются в точке O.Известно,что угол acc1=40 градусов,A1C=6 см.Вычислите длину отрезка cc1

Проведем С₁А₁. С₁А₁║АС, так как АС₁=СА₁, ∠ВАС=∠АСВ (треугольник равнобедренный). Из параллельности С₁А₁║АС, следует, что СС₁ как секущая образует равные углы ∠АСС₁ = ∠СС₁А₁=40° (накрест лежащие углы).

Медианы равнобедренного треугольника точкой пересечения делятся на отрезки, соотношение длин которых 2:1, а так как АА₁=СС₁, то и отрезки ОС₁=ОА₁ и СО=АО. Обозначим стороны  ОС₁=ОА₁ за х, тогда СО=АО=2х, а искомая медиана СС₁=3х.

Из точки О опустим высоту ОО₁ на С₁А₁. ОО₁ также является медианой ΔОС₁А₁, . Найдем С₁О₁ как катет прямоугольного ΔОС₁О₁.

С₁О₁=х·cosOC₁O₁=x·cos40°.

С₁А₁=2·С₁О₁=2x·cos40°.

По теореме косинусов из ΔСС₁А₁ найдем х.

6²=(2x·cos40°)²+9х²-2·3х·2x·cos40°·cos40°

36=х²·(9-8·cos²40°)

х=6/√(9-8·cos²40°)

СС₁=3х=18/√(9-8·cos²40°)≈8,67 см

Ответ: СС₁=18/√(9-8·cos²40°)

(задача проверена графическим методом. всё совпало)