В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 2√3, а боковое ребро равно 5. Точка М- середина ребра B1C1, а точка Т- середина А1М. Найдите угол между плоскостью ВСТ и прямой АТ.

Эту задачу можно решить двумя способами:

1) геометрическим,,

2) векторным.

1) Проведём сечение АА1М.

Отрезок А1М как медиана и высота правильного треугольника равен:

А1М = 2√3*cos 30° = 2√3*(√3/2) = 3. Тогда А1Т = 3/2 = 1,5.

Угол между плоскостью ВСТ и прямой АТ - это угол между АТ и её проекцией на плоскость ВСТ.

Проекция АТ лежит на линии пересечения плоскостей ВСТ и АА1М.

Это линия ТР. Точка Р лежит на стороне ВС в её середине.

Отрезки АТ и ТР равны.

Искомый угол АТР  равен 2arc tg (3/2)/5 = 2arc tg (3/10) = 0,5829 радиан = 33,3985°.

2) Поместим призму ребром АВ по оси Оу, точка А - начало координат. Ребро АА1 по оси Oz.

В(0; 2√3; 0), С(3; √3; 0), Т(0,75; 3√3/4; 5), А(0; 0; 0).

Уравнение плоскости ВСТ по трём точкам определяем так:

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Уравнение получаем из выражения:               (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек, находим уравнение плоскости ВСТ:

x + √3y + 0,6z - 6 = 0.

Вектор АТ равен координатам точи Т: АТ(0,75; 3√3/4; 5).

Синус угла между прямой и плоскостью равен:

sin α = |1*0.75+√3*(3√3/4)+0*5|/(√(1²+(√3)²+0,6²)*√(0.75²+(3√3/4)²+5²)) =

        = 0,550459.  

Угол равен 0,5829 радиан  или 33,3985 градуса.