20 БАЛЛОВ СРОЧНО.

В остроугольном треугольнике АВС АС=b, ∠A=α, ∠C=β. Выразите проекции сторон АВ и ВС на сторону АС. Решить нужно без теоремы синусов

Обозначим проекцию точки В на сторону АС за точку К. Тогда проекция стороны АВ=АК, а проекция стороны ВС=СК. Обозначим СК за х, тогда АК=b-х.

Из прямоугольных ΔАВК иΔСВК выразим высоту ВК через АК и СК:

ВК=AK·tg(α)=CK·tg(β) ⇒ (b-x)·tg(α)=x·tg(β) ⇒ (b-x)/x=tg(β)/tg(α) ⇒ b/x=tg(β)/tg(α) + 1 ⇒ x= b÷(tg(β)/tg(α) + 1)

Значит АК=b - b÷(tg(β)/tg(α) + 1).

Ответ: проекция стороны АВ на сторону АС равна b - b÷(1+tg(β)/tg(α))

проекция стороны ВС на сторону АС равна  b÷(1+tg(β)/tg(α))