В равнобедренном треугольнике одна из сторон равна 10, а синус угла при основании 0,8 . Какую наибольшую площадь может иметь треугольник ?

Два случая.

1)  рис. 1

АВ=ВС=10

Проводим ВК⊥АС

Высота равнобедренного треугольника является и его медианой

АК=КС

Тогда

h=10·sin∠A=10·0,8=8

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВК:

AK²=AB²-BK²=10²-8²=36

AK=6

AC=12

S(Δ ABC)=(1/2)AC·BK=(1/2)·12·8=48

2) АВ=ВС

 АС=10

Проводим ВК⊥АС

Высота равнобедренного треугольника является и его медианой

АК=КС=5

sin∠A=BK/AB

AB=BK/sin∠A=h/0,8=5h/4

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВК:

AВ²=AK²+BK²

(5h/4)²=5²+h²

(25h²/16)-h²=25

9h²/16=25

h²=(16·25)/9

h=4·5/3

h=20/3

S(Δ ABC)=(1/2)AC·BK=(1/2)·10·(20/3)=200/3

200/3 > 48

О т в е т. 200/3