В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью SBD

Итак, нам нужно найти угол между прямой SA и (SBD)?

Давай произведем для начало описание самой задачи(что в ней вообще происходит и какой именно угол нам необходимо найти.

Пусть точка О-является центром основания правильного 4-ехугольника ABCD(квадрата), точка K-середина ребра BS

ΔSOK-является прямоугольным, SO⊥OK,OK⊥(SBD) , т.к OK⊥BC, а BC⊂(SBD),SA⊥(ABCD),SA⊥SC.

Итак, мы выяснили, что SA⊥SC,CK⊥(SBD )⇒ ∠SCK-искомый линейный угол

OK=1/2AB=1/2*1=0,5

SK-высота ΔSBC,то есть  SK=√3/2(по формуле равностороннего треугольника)

cos∠SKC=OK/SB=0,5/(√3/2)=1/√3=√3/3

α=arccos√3/3 или

sin∠SKC=SC/KC=√1/3

α=arcsin√1/3

Угол между прямой SA и плоскостью SBD равен линейному углу между прямой  SA и её проекцией на плоскость SBD.

Прямая  SA лежит в плоскости АSС, которая перпендикулярна  плоскости SBD. Линия пересечения этих плоскостей - высота пирамиды  SО и есть проекцией прямой SA на плоскость SBD.

Угол АSС равен 90 градусов (квадраты боковых сторон равны квадрату основания), а искомый угол равен половине этого угла.

Ответ: угол между прямой SA и плоскостью SBD равен 45 градусов.