В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ CD=36, AD=24, DD₁=28,8. Точки М и К делят стороны основания AB и CB так, что BM:MA=5:4, BN:NC=5:3
а)Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через вершину D₁ и точки М и К делит ребро АА₁ в отношении 1:2, считая от А, а ребро СС₁ в отношении 1:3, считая от точки С
б) найдите площадь сечения

В соответствии с заданием определяем отрезки:

BM:MA=5:4 = (36/9)*5 = 20:16.

BN:NC=5:3 = (24/8)*5 = 15:9.

То есть, от основания отсекается треугольник площадью (1/2)*20*15 = 150 кв.ед.

Оставшаяся площадь равна (24*36) - 150 = 864 - 150 = 714 кв.ед.

Эта площадь равна проекции заданного сечения на основание.

Теперь найдём угол наклона секущей плоскости.

Прямая, проходящая через точки M и N, образует подобные треугольники с продолжениями сторон АД и СД.

По Пифагору определяем длину MN = 25. Синус угла NТС =3/5, а косинус 4/5, тангенс 3/4. Отрезок ТС = 9/(3/4) = 12.

ДТ = 36 + 12 = 48. Проекция высоты из точки Д1 на MN равна 48*(3/5) = 144/5 = 28,8. Так как высота ДД1 тоже равна 28,8, то угол наклона секущей плоскости равен 45 градусов.

Площадь сечения равна:

S = 714/cos 45° = 714/(√2/2) = 714*√2 ≈ 1009,75 кв.ед.

Доказательство деления ребра АА1 этой плоскостью:

вытекает из подобия треугольников РКА и РД1Д: КА/12 = 28,8/(12+24), отсюда КА = 12*28,8/36 = 28,8/3. То есть АА1 делится на 3 части, а АК составляет 1 из 3 частей, то есть отношение равно 1:2.

Аналогично для ребра ДД1 отношение 1:3.