Дан конус,осевым сечением которого является равносторонний треугольник.В конус вписан шар радиуса R. Найдите объём данного конуса.

Пусть а - сторона равностороннего треугольника

Высота конуса - высота этого треугольника - равна h = (a√3)/2

Радиус шара, вписанного в конус, равен R = h/3 = (a√3)/6

Выразим a и h через R:    а = 6R/√3 = 2R√3;   h = 3R.

Радиус основания конуса Rосн = а/2 = R√3

Площадь основания конуса: Sосн = π·R²осн = 3πR²

Объём конуса: V = 1/3 · Sосн · h = 1/3 · 3πR² · 3R = 3πR³

Ответ: 3πR³