50баллов! ПРОШУ ПОМОГИТЕ! ГЕОМЕТРИЯ! НАДО НА ЗАВТРА СДЕЛАТЬ ПОЖАЛУЙСТА! ВОТ ЗАДАЧА: Биссектрисы углов L и M трапеции KLMN пересекаются в точке А, лежащей на стороне KN. Докажите, что точка А равноудалена от прямых KL, ML, и MN.

В за­да­че воз­мож­ны два случая.

Первый случай, AD — одно из оснований. Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как ука­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки OBH и BOK Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки OBH и OBK, они прямоугольные, углы HBO и KBO равны, OB — общая, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны. От­ку­да OH = OK. Ана­ло­гич­но из тре­уголь­ни­ков KOC и COL получаем, что OK = OL. Таким образом, OH = OK = OL.

Второй случай, AD — одна из бо­ко­вых сторон. Не­смот­ря на дру­гую гео­мет­ри­че­скую конфигурацию, до­ка­за­тель­ство пол­но­стью по­вто­ря­ет до­ка­за­тель­ство для пер­во­го случая.

Проведем из О к указанным сторонам трапеции перпендикуляры к АВ -а, к ВС - е, к ML-у 

Рассмотрим ∆ ВОа и ВОе. Они прямоугольные , имеют общую гипотенузу ВО и по равному острому углу при В. 

           Если ги­по­те­ну­за и при­ле­жа­щий к ней угол од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ги­по­те­ну­зе и при­ле­жа­ще­му углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны. ⇒

катет аО = еО

Аналогично доказывается равенство катетов еО и уО треугольников СОе и СОу. 

Отрезки Оа, Ое, Оу равны и как перпендикуляры от точки до прямой, являются расстоянием от О до  АВ, до ВС и до AD. 

Т.е. О - равноудалена от прямых  АВ,  ВС и AD, ч.т.д.