Доказательство теоремы Симсона​



Прямая Симсона треугольника ABC

Прямая Симсона — прямая, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности. Её существование опирается на теорему Симсона.



Прямая Симсона оснований перпендикуляров, лежащих на продолжениях сторон. Индекс обозначает сторону, на которую перпендикуляр опущен.

Теорема Симсона

ПравитьОснования перпендикуляров, опущенных из произвольной точки

P

{\displaystyle P}

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="P"> описанной окружности треугольника

A

B

C

{\displaystyle ABC}

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e55b44cfd965fbdc7a328d5db8a35a619db0971" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.273ex; height:2.176ex;" alt="ABC"> на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.

Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из точки

P

{\displaystyle P}

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="P"> на стороны треугольника

A

B

C

{\displaystyle ABC}

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e55b44cfd965fbdc7a328d5db8a35a619db0971" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.273ex; height:2.176ex;" alt="ABC"> или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка

P

{\displaystyle P}

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="P"> лежит на описанной окружности треугольника.

История

Править