Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Через большую сторону нижнего
основания и середину противоположного бокового ребра
проведена плоскость под углом 30° к плоскости основа-
ния. Найдите объем призмы

Так как треугольник основания равнобедренный, то плоский угол между заданной плоскостью и основанием включает в себя высоту h основания и перпендикуляр L из середины противоположного бокового ребра к большей стороне нижнего  основания.

Находим  h =  √(10² - (12/2)²) = √(100 - 36) = √64 = 8.

Отсюда находим высоту призмы как как удвоенную величину катета против угла в 30 градусов: Н = 2h*tg 30° =  2*8*(√3/3) = 16√3/3.

Площадь основания So = (1/2)12*h = 6*8 = 48.

Получаем ответ: V=SoH = 48*(16√3/3) = 256√3 кв.ед.