В прямоугольном треугольнике угол C=90° ; угол A=45°; CD-высота; CDB=90°; площадь ∆ABC =50. найти CD.

Помогите срочно даю 50 баллов!

S(ABC)=(AC²)/2

AC=CB=10

AB=10√2

DB=5√2

CD=√(CB²-DB²)=√(100-50)=√50

дано:

ΔАВС - прямоугольный  (∠С = 90°),

∠А = 45°,

CД - высота,

∠СДВ = 90°,

S = 50,

найти:  СД - ?,

решение:

1.

так как треугольник прямоугольный, а ∠А = 45°, то ∠В = 45°, значит данный треугольник еще является и равносторонним с основанием АВ, тоесть:

АС = ВС - катеты,

2.

площадь прямоугольного треугольника равна S = 1/2 * ав, отсюда:

S = 1/2 * АС * ВС = 1/2 * АС²,

АС²= S : 1/2 = 2S,

АС² = 2 * 50 = 100,

АС = ВС = 10,

3.

по теореме Пифагора:

АВ² = АС² + ВС²,

АВ² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200,

АВ = √200 = 10√2,

далее можно решать 2 способами:

                          1 способ  (более длинный):

4.

так как треугольник АВС - равносторонний, то СД - медиана:  

АД = ВД = 1/2 * АВ = 1/2 * 10√2 = 5√2,

5.

рассм. ΔАСД - прямоугольный  (так как СД - высота):

∠АСД = 45°, значит ΔАСД - равносторонний, поэтому:

СД = АД = 5√2,

                              2 спопоб  (проще и короче):

4.

СД = (АС * ВС) / АВ,

СД = (10 * 10) / 10√2 = 100 / 10√2 = 10/√2 =

= (10*√2)/(√2*√2) = 10√2 / 2 = 5√2

ответ:  СД = 5√2