3* Найдите стороны равнобедренного треугольника, если известно, что высота, проведенная к боковой сторо- не, равна 14,4 дм, а синус угла при основании равен 4\5​

Дано:

AD - высота  

AD = 14.4 дм  

sin C = 4/5  

Найти АВ и АС.  

Решение.  

Рассмотрим треугольник АВС. AD - высота к стороне ВС, отсюда угол ADB = углу ADC = 900.  

Рассмотрим треугольник ADC - прямоугольный, т.к. угол ADC - прямой.  

sin С = AD / AC (отношение противолежащего катета к гипотенузе), отсюда  

AC = AD / sin A = 14,4 : 4/5 = 18  

Рассмотрим треугольник АВС.  

Угол С = углу А, отсюда sin C = sin A = 4/5  

Найдем cos А.  

cos2A + sin2A = 1  

cos2A = 1 - sin2A = 1 - (16/25) = 9/25  

cos A = 3/5  

По свойствам равнобедренного треугольника (следствие теоремы косинусов):  

a = b / 2cosA, отсюда  

BC = AC / 2cosA = 18 / (6/5) = 15  

Ответ: АС = 18 дм, АВ = ВС = 15 дм.