В треугольнике ABC на стороне AC выбрали точку K. Точки P и Q симметричны точке K относительно сторон AB и BC. Оказалось, что прямая BK делит отрезок PQ пополам. Докажите, что угол KBC равен одному из углов треугольника KPQ

Симметрия точек относительно прямой - это симметрия концов отрезка относительно серединного перпендикуляра. AB и BC - серединные перпендикуляры в треугольнике PKQ. Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, прямая, проходящая через точку пересечения серединных перпендикуляров (B) и середину отрезка PQ, является перпендикуляром к PQ.

Пусть M - середина PQ, N - середина KQ. Треугольники KBN и KQM подобны (прямоугольные с общим углом), ∠KBC=∠KQP.