Дана правильная треугольная пирамида ABCD, сторона основания и высота которой равна 6√3 и 4 соответственно. Найдите угол между прямой EF и плоскостью основания ABC, если F - середина ребра DB, a E лежит на AD так, что AE:ED=3:1.

Находим проекции боковых рёбер на основание.

Они равны (2/3) высоты основания,то есть (2/3)*(6√3*(√3/2)) = 6.

Проекции точек E и F отделяют на основании отрезки от основания высоты, равные (1/4)*6 = 3/2 и (1/2)*6 = 3.

Получаем проекцию E1F1 отрезка EF на основание как сторону треугольника с двумя известными сторонами (3/2) и 3 и углом между ними 120 градусов.

E1F1 = √((9/4) + 9 - 2*(3/2)*3*cos120°) = √(9 +36 + 18)/2 = √63/2.

Высоты точек E и F от основания равны соответственно (3/4)*4 = 3 и (1/2)*4=2. Разность высот равна 3 - 2 = 1.

Угол между прямой EF и плоскостью основания ABC - это плоский угол между прямыми EF и E1F1.

Отсюда находим тангенс искомого угла.

tg α = 1/(√63/2) = 2/√63 ≈ 0,251976.

Угол α = 0,24684 радиан или 14,14277 градуса.