вокруг квадрата описали прямоугольник так, что каждая вершина квадрата лежит на одной из сторон этого прямоугольника. Верно ли, что данный прямоугольник — тоже квадрат?​

Не  всегда. Возьмите квадрат 4х4 клетки, постройте в верхнем левом и нижнем правом углу по два прямоугольных равнобедренных треугольника с боковой стороной 1 клетка, соедините вершины, отличные от вершин квадрата, получите прямоугольник, но не квадрат.