Докажите формулу: площадь ромба равна произведению квадрата одной из его сторон на синус одного из его углов.
S=a^2*sinb
Геометрия 8 класс

Для начала выведем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними. Известная нам формула площади:

Sabc = (1/2)*b*h  (1), где b - сторона треугольника, а  h - высота, проведенная у этой стороне. Рассмотрим прямоугольный треугольник СВН. В нем катет ВН - (высота h треугольника АВС, проведенная к стороне АС).  В треугольнике СВН  SinC = h/a (отношение противолежащего катета к гипотенузе).  =>

h = a*SinC (2). Подставим (2) в (1):

Sabc = (1/2)*b*a*SinC. (3)  То есть площадь ЛЮБОГО треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Значит Sabc = (1/2)*a²*SinA.

В ромбе все стороны равны. Ромб делится диагональю на два равных треугольника. Противоположные углы ромба равны, а углы, прилежащие к одной стороне в сумме равны 180 градусов, то есть один угол α, а второй 180 - α.  Sinα = Sin(180-α).  Тогда площадь ромба равна из (3):

S=2*(1/2)*a*a*SinА = а²SinA, что и требовалось доказать.