Даны вершины треугольника A(2;-2), B(3;-5), C(5;7). Составить уравнение высоты BD. И вычислить длину.

Даны вершины треугольника A(2;-2), B(3;-5), C(5;7).

Уравнение стороны АС: х - 2    =     у + 2

                                              3                9

Приводим к общему знаменателю. 9х - 18 = 3у + 6.

В общем виде 9х - 3у - 24 = 0  или 3х -у -8 = 0.

С угловым коэффициентом у = 3х - 8.

В уравнении ВД угловой коэффициент к = -1/(кАС) = -1/(3) = -1/3.

Уравнение ВД: у = (-1/3)х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки В: -5 = (-1/3)*3 + в. Отсюда в =  -5 + 1 = -4.

ВД: у = (-1/3)х -4.

Длину высоты можно определить двумя способами: (1) через площадь или (2) найти координаты точки Д.

(1) АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √10 ≈ 3,1623.

BC (а) = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √148 ≈  12,1655.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √90 ≈ 9,4868.

Площадь по формуле Герона S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Полуперимето р = 12,4073.

Подставив значения, получаем S = 9.

Тогда ВД = 2S/AC = 2*9/√90 = 6/√10 ≈ 1,8974.

(2) Приравниваем уравнения АС и ВД.

3х - 8 = (-1/3)х - 4

(10/3)х = 4,    х = 12/10 = 1,2.    у = 3*1,2 - 8 = -4,4.

ВД = √((1,2 - 3)² + (-4,4 + 5)²) = √3,6  ≈ 1,8974.