Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (2;-3;5) перпендикулярно прямой

[tex]\left \{ {{2x+y-2z+1=0} \atop {x +y+z-5=0}} ight.[/tex]

Нормальные векторы плоскостей, которые задают прямую а. равны:

n1 = (2; 1;-2) , n2 = (1; 1; 1).

Тогда направляющим вектором  прямой а будет   векторное произведение векторов  n1 и n2.

a × b =  

i j k

ax ay az

bx by bz

 =  

i j k

2 1 -2

1 1 1

 = i (1·1 - (-2)·1) - j (2·1 - (-2)·1) + k (2·1 - 1·1) =  

 = i (1 + 2) - j (2 + 2) + k (2 - 1) = {3; -4; 1}.

Таким образом, вектор →

n =  {3; -4; 1}     будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой  a.

Запишем искомое уравнение плоскости:

3(x  − 2)  + (-4)(y + 3)  + 1(z −  5)  

=  3x – 6 – 4y – 12 + z – 5 = 3x – 4y + z – 23 = 0.

Ответ: 3x – 4y + z – 23 = 0.