Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей
через точку К – середину ребра BD, точку Р – середину медианы DR
грани ADC и точку N на ребре АВ такую, что AN : NB = 2:1. Найдите в
каких отношениях сечение делит ребра тетраэдра, которые оно пересекает.

Ответ:

АР1/Р1С=1/2,  DK1/K1C=1/4, AN/NB=2/1 (дано) и DK/KB=1/1 (дано).

Объяснение:

Построение. В треугольнике RDB отрезок РК - средняя линия. PK║BR, следовательно плоскость, проходящая через точки Р и К, пересекает плоскость АВС по прямой, параллельной прямой BR. Проведя прямую через точку N параллельно прямой BR, получим точку Р1 на ребре АС. Проведя прямую Р1Р в грани ADC, получим точку K1 на ребре DC.

Сечение P1K1KN - искомое.

Так как Р1N║BR, по теореме Фалеса АР1/Р1R = AN/NB = 2/1.

AR=RC(дано). Если АР1 = 2х, а P1R=х, то AR = RC =3x.

Тогда АР1/Р1С = 2х/4х = 1|2.

В треугольнике RDC с секущей К1Р1 по теореме Менелая:

(СК1/K1D)*(DP/PR)*(RP1P1C) = 1.  Тогда, подставив известные значения получим:

(СК1/K1D)*(1/1)*(1/4) = 4/1.

Ответ: АР1/Р1С=1/2,  DK1/K1C=1/4, AN/NB=2/1 (дано) и DK/KB=1/1 (дано).

P.S. Докажем теорему Менелая (для тех, кто ее не проходил).

Проведем через точку R прямую, параллельную ребру DC. Получим подобные треугольники P1RQ и P1K1C (1) (по двум углам Р1 - общий, <QRP1=K1CR как соответственные при параллельных DC и QR и секущей Р1С) и треугольники RQP и Р1К1С (2)  (по двум углам <QPR и <DPK1 - вертикальные, <PDK1=QRP как накрест лежащие при параллельных DC и QR и секущей DR). Из подобия имеем соотношения:

Из (1): RP1/P1C = RQ/K1C  => RQ = K1C*RP1/P1C.

Из (2): RQ/DK1 = PR/DP => RQ = PR*DK1/DP.

Приравняв оба выражения для Q и разделив обе части равенства на вторую из дробей, получим: (K1C*RP1*DP)/(P1C*PR*DK1) = 1. Слегка упорядочив отрезки, имеем:

(CK1/K1D)*(DP/PR)*(RP1/P1C) = 1. Теорема Менелая доказана для нашего случая.