ABCDA1B1C1D1-куб. Вычислите градусную меру угла между прямыми BD и AD1

Смотри на картинку.

S∈AB; AS=SB

Q∈DC; DQ=QC

M∈A₁B₁; A₁M=MB₁

Проведём плоскость α через точки S, Q, M это плоскость параллельна (AA₁D₁) по признаку. α∩D₁C₁=N; A₁D₁║MN --> D₁N=NC₁ (по теореме Фалеса).

В общем имеем что квадрат AA₁D₁D равен квадрату SMNQ и они параллельны. Значит SN║AD₁ Напомню, что угол между прямыми сохраняется при параллельном переносе. SQ∩DB=O; SO=OQ как соответственные средние линии равных треугольников (ΔAOD и ΔBDC).

Смотри рисунок.

Через точку O проведём прямую OP (OP║SN), из построение следует, что QP=PN (по теореме Фалеса). Ещё раз угол при параллельном переносе прямых сохраняется.

В общем у нас есть ΔDOP и нам надо найти ∠DOP.

Скажем, что сторона куба равна а.

DB=a*√2 --> DO=a*√2/2

SN=a*√2 --> OP=a*√2/2

P-середина квадрата DD₁C₁C т.к. QN║DD₁ и DQ=QC, и QP=PC.

Значит P∈DC₁ и DP=PC₁

DC₁=a*√2 --> DP=a*√2/2

Получается ΔDOP - равносторонний и угол 60°.

Ответ: 60°.