Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую
боковую сторону на отрезки 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции.

Или так. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных пересекаются под прямым углом. Радиус вписанной окружности трапеции является высотой из прямого угла и равен среднему геометрическому отрезков боковой стороны, r=√(ab).

Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна высоте. Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме противоположных сторон, P= 2(a+b+2√(ab)) =2(√a+√b)^2

Отрезки большей боковой стороны a=50 и b=8. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Проведем диаметр вписанной окружности, соединив точки касания на основаниях - отсеченные отрезки оснований равны a и b. Опустим высоту из вершины меньшего основания - отсеченный отрезок основания равен a-b. По теореме Пифагора высота равна

h= √((a+b)^2-(a-b)^2) =2√(ab)

Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте (расстояние между параллельными постоянно). Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны, периметр равен

P= 2(2√(ab)+(a+b)) =2(√a+√b)^2

P= 2(√50+√8)^2 =2(7√2)^2 =196