В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны точки M и N так, что BM:MA=CN:NA=1:4. Оказалось, что отрезок MN содержит центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите BC, если AB=25, AC=20

Для решения нам необходимо найти, какую часть от АС составляют NK  и АК

Т.К. МК || ВС, то треугольники АМК и АВС подобны по равенству углов при параллельных МА и ВС и секущих АВ и АС. 

Из подобия следует отношение: 

 АК:КС=АМ:МВ=3:2, т.е. АК=3/5, а КС=2/5 стороны АС

По условию АN:NC=4/5, значит, АС=4+5=9 частей. 

АN= 4/9 АС

Тогда NK=AK-AN=3/5-4/9=7/45

По т.Менелая 

(АМ/ВМ)*(ВО/ОN)*(NK/KA)=1

(3/2)*(BO/OK)*[(7/45)/(3/5)]=1

(7/18)*(BO/ON)=1

(BO/ON)=1:(7/18)

BO/ON=18/7