В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известны рёбра: AB =4√2 , AA1 = 4.Точка M —
середина ребра BC.
а) Докажите, что прямые B1C и C1M перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1.

Пусть В - начало координат .

Ось X - BA

Ось Y - перпендикулярно Х в сторону С

Ось Z - BB1

Координаты точек

M(√2;√6;0)

B1(0;0;4)

C1(2√2;2√6;4)

C(2√2;2√6;0)

Вектора

B1C ( 2√2;2√6;-4)

C1M ( -√2;-√6;-4)

Уравнение плоскости ABB1A1

y=0

B1C * C1M =  2√2* (-√2) + 2√6*(-√6) + (-4)*(-4) = 0 - перпендикулярны

Синус искомого угла равен

√6 / √ ( 2+6 +16) = 1/2  

угол 30 градусов .