сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла​

Ответ:

Сформулируем теорему о биссектрисе угла:

Любая точка биссектрисы любого угла (кроме развернутого) является равноудаленной от сторон данного угла.

Докажем теорему.

Доказательство.

Пусть точка M является произвольной точкой биссектрисы неразвернутого угла A.

Проведем к сторонам угла А перпендикулярные прямые MF и MG.

Таким образом, мы получим два прямоугольных треугольника AMF и AMG, которые являются равными между собой по стороне (гипотенузе) и острому углу (сторона AM является общей гипотенузой, а углы равны по свойству биссектрисы согласно условию).

Значит, прямые MF = MG.

Теорема доказана.

Сформулируем также обратную теорему:

Каждая точка, которая лежит в середине неразвернутого угла и равноудалена от сторон этого угла, принадлежит его биссектрисе.

Докажем данную теорему.

Доказательство.

Возьмем точку Q, лежащую в середине неразвернутого угла С и равноудаленную от его сторон. Тогда перпендикулярные прямые QH и QK, проведенные к сторонам угла, равны.

Докажем, что прямая CQ является биссектрисой угла С.

Рассмотрим полученные прямоугольные треугольники СQH и CQK. У них сторона CQ является общей, а стороны QH и QK равны согласно условию. Таким образом, данные треугольники будут равными по катету и гипотенузе. Так как у равным треугольников и соответствующие углы также равны, то получаем, что прямая CQ действительно будет биссектрисой угла С.

Теорема доказана.

Объяснение: