В треугольнике ABC известно, что угол С=90 градусов, AC=5, BC=12. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружности.

Отложим катеты треугольника по координатных осях, поместив вершину прямого угла в начало координат

Длина гипотенузы с = √ (a² + b²) = √ (5² + 12²) = 13

Площадь треугольника S = a * b / 2 = 5* 12/2 = 30

Радиус вписанной окружности r =

2 * S / (a + b + c) = 2 * 30 / (5+ 12 + 13) = 2

Итак, центр вписанной окружности имеет координаты (2, 2) (центр вписанной окружности ровно отдалённ от координатных осей)

Центр описанной окружности - середина гипотенузы, поэтому его координаты

((5 + 0) / 2, (0 + 12) / 2) = (2.5, 6)

Итак, искомое расстояние

d = √ ((2.5 - 2) ² + (6 - 2) ²) ≈4