В окружности с центром О проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что угол BAC= углу BAD. Докажите, что AC=AD

Вписанные углы BAC и BAD равны, следовательно равны и дуги, на которые они опираются дуга BC = дуга BD. Диаметр делит окружность пополам. Из полуокружностей вычитаем равные дуги 180 - дуга BC = 180 - дуга BD, дуга AC = дуга AD. Равные дуги стягивают равные хорды, AC = AD.

Вот глядите, коротко и ясно. В треугольниках АДВ и АСВ  углы САВ и ДАВ равны, например, α, т.к. их делит пополам биссектриса АВ, углы Д и С равны 90°, т.к. оба опираются на диметр АВ. тогда ∠АВС = ∠ АВД =90-α. Раз они равны, то и дуги на которые они опираются, тоже  равны, значит, дуга АС равна дуге АД, но тогда и  хорды, которые стягивают эти дуги,    следовательно, тоже равны. Требуемое доказано. АС=АД.