В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB =4корня из 3, а боковое ребро SA = 5. Найдите угол между прямой SC и плоскостью SAB

Ответ: arcsin 0,99846, что соответствует углу 86,82°

Объяснение:

 Основание правильной пирамиды –  правильный многоугольник,  боковые грани - равнобедренные треугольники, а вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания.

Рассмотрим рисунок приложения:

 Для правильного треугольника  R=a/√3, где а- сторона основания. ОС=R=4√3:√3=4. Из отношению катета и гипотенузы ОС:SС=4:5 следует ∆ SОС - египетский, ⇒ высота пирамиды SО=3

 Проведем высоту СН основания и апофему грани SAB. Высота СН⊥АВ.  По т. о 3-х перпендикулярах SН⊥АВ.

 SН и СН лежат в плоскости SСН. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. ⇒ АВ перпендикулярна плоскости SСН. ⇒ Плоскость SСН⊥АВ.

Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то она перпендикулярна и этим плоскостям.⇒ (SСН)⊥(АSВ). ⇒

Искомый угол СSН

                                    *   *   *

Способ 1) СН=АС•sin60°=4√3•√3/2=6  ⇒

2S(СSН)=SО•СН=3•6=18.

НО=СН-СО=6-4=2.

SН=√(SО²+ОН²)=√(9+4)=√13

Проведем высоту СК к стороне SН.

2S(CSH)=СК•SН  ⇒  CK=2S:SH=18/√13 Синус СSК=СК:СS= (18/√13):5=0,99846, что соответствует углу 86,82°

Способ 2): Вычислить нужный угол можно с тем же результатом по т. косинусов: СН²=SН²+СS²-2•SН•SС•cos(CSH) .