В правильной четырехугольной пирамиде SABCD стороны основания равны sqrt(2), а боковые ребра равны sqrt(10). На ребре SA отмечена точка P так, что AP:PS = 2:3, точка M - середина ребра SC. Найдите угол между плоскостью MPD и плоскостью основания пирамиды.

Эта задача может быть решена двумя способами: геометрическим и векторным.

Примем второй способ. Поместим пирамиду в трехмерную прямоугольную систему координат точкой В в начало, ВА по оси Ох, ВС по оси Оу.

В соответствии с заданием определим координаты точек:

Р(4√2/5; √2/5; 6/5), М(√2/4; 3√2/4; 1,5) и D(√2; √2; 0).

По этим точкам находим уравнение плоскости MPD.

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.  Тогда уравнение определяется из выражения:

 (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.                

Подставив координаты точек в это выражение, находим уравнение плоскости MPD: -1,272792x - 0,848528137y - 1,1z + 3 = 0.

Аналогично поступаем с точками АВD и находим уравнение плоскости основания пирамиды: 0x + 0y - 2z + 0 = 0.

Угол между плоскостями находим через косинус:

 cos α =  |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|                       =

√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²)  

         =            2,2   =  0,58382.

                1,88414*2  

Угол α равен arc cos 0,58382 = 0,94737 радиан  или 54,2804 градуса.