В равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной 3 корня из 2 см вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а другие две вершины – на боковых сторонах. Найдите сторону квадрата.

Пусть тр-к АВС, где АВ=ВС=5√2, а АС=10. Опустим высоту ВН из В на АС. В силу равнобедренности это и медиана тоже. Тогда имеем подобные тр-ки ВНС и ВКМ, где КМ - половина стороны вписанного квадрата (так как ВН делит пополам любой отрезок в тр-ке АВС, параллельный основанию АС). Из подобия имеем:ВН/ВК=НС/КМ. По Пифагору ВН=√ВС²-НС² = 5см. Итак, 5/(5-2КМ)= 5/КМ.Отсюда КМ=25/15=5/3см. Сторона квадрата равна 2*КМ=10/3=3и1/3см.