AB діаметр кола. Через точки A і B проведено дві дотичні до кола, третя дотична перетинає дві перші в точках C і D. Доведіть що квадрат радіуса цього кола дорівнює добутку відрізків CA і DB

Ответ:

Задана окружность с центром в точке О ,  АВ - диаметр ,

АС и ВД - касательные к окружности, точки А и В - точки касания.

Радиус окружности, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной  ⇒  АО⊥АС  и  ВО⊥ВД .

СД - касательная, точка Н - точка касания  ⇒  ОН⊥СД .

Получили четырёхугольник АСДВ - прямоугольная трапеция.

АС=СН  и  ВД=ДН , так как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны . ОА=ОН=ОВ как радиусы окружности, СО - общая  ⇒   ΔАОС=ΔНОС , ΔВОД=ΔНОД  по трём сторонам  ⇒   ∠АСО=∠НСО, значит СО - биссектриса.

Рассмотрим ΔСОД.  ∠СОД=90°, т.к. ∠ДСО+∠СДО=(∠С+∠Д ):2=90°

ОН - высота, опущенная из прямого угла есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой, то есть  ОН²=СН*ДН , но СН=СА и ДН=ДВ, значит

 ОН²=СА*ДВ