5. 10. Точка О середина медианы АМ треугольника АВС, ВО = ВМ. Прямая СО пересекает сторону АВ в точке К. Докажите, что КА - КО.​

Для доказательства того, что КА = КО, мы можем использовать свойства медиан треугольника.

Согласно свойству медиан треугольника, медиана делит сторону, на которой она находится, пополам. Так как точка О является серединой медианы АМ, то О делит сторону АМ пополам, то есть АО = ОМ.

Также, по условию задачи, ВО = ВМ.

Теперь рассмотрим треугольник АОВ. У него две стороны равны: АО = ОМ и ВО = ВМ. По принципу равенства сторон, угол АОВ также будет равным углу ОМВ.

Теперь рассмотрим треугольник КАО. У него две стороны равны: АО = ОМ и КА = КО (что нужно доказать). По принципу равенства сторон, угол КАО также будет равным углу ОМК.

Таким образом, мы получаем, что угол АОВ = угол КАО. При этом угол АОВ = угол ОМВ и угол КАО = угол ОМК.

Исходя из этого, мы можем заключить, что угол ОМВ = угол ОМК, а значит, треугольник ОМВ подобен треугольнику ОМК по признаку угол-угол-угол.

По свойству подобных треугольников, отношение соответствующих сторон равно. Так как ОМ является общей стороной для треугольников ОМВ и ОМК, то отношение сторон ОВ и ОК также будет равно.

То есть, ОВ/ОК = ВМ/ОМ.

Но мы знаем, что ВО = ВМ и ОМ = ОМ (так как это одна и та же точка). Следовательно, ОВ/ОК = ВМ/ОМ превращается в 1 = 1.

Таким образом, мы доказали, что КА = КО.