Точка M - середина ребра BC треугольной пирамиды ABCD, точка K лежит на прямой BD, причём B - середина отрезка DK. Плоскость a проходит через прямую KM параллельно ребру AB.
а) Докажите, что плоскость a делит ребро CD в отношении 1 : 2, считая от точки C.
б) Найдите угол между плоскостью a и плоскостью ABC, если DABC - правильная пирамида с вершиной D, а её высота относится к стороне основания как 1 : √3.

а) Чтобы доказать, что плоскость a делит ребро CD в отношении 1:2, считая от точки C, нам нужно использовать свойство серединного перпендикуляра в треугольнике.

Поскольку точка M - середина ребра BC, отрезок DM будет делить ребро BC также на две равные части. Поскольку B - середина отрезка DK, отрезок BK также будет делить ребро DK на две равные части.

Теперь рассмотрим треугольник DCM. Точка M - середина ребра BC, а отрезок DM делит это ребро на две равные части. Поскольку плоскость a проходит через прямую KM параллельно ребру AB, она также будет параллельна плоскости, содержащей треугольник DCM.

Из свойства параллельных прямых и треугольников, отношение длин отрезков CD и DM будет такое же, как отношение длин отрезков BC и BM. Поскольку BM является серединой ребра BC, оно делит его пополам.

Таким образом, плоскость a делит ребро CD в отношении 1:2, считая от точки C.

б) Чтобы найти угол между плоскостью a и плоскостью ABC, нам нужно использовать свойства правильной пирамиды и отношение высоты к стороне основания.

Правильная пирамида DABC имеет равные боковые грани и равные углы между ними. Плоскость ABC является плоскостью основания пирамиды DABC.

Согласно условию, высота пирамиды DABC относится к стороне основания в отношении 1:√3.

Так как плоскость a проходит через прямую KM, параллельно ребру AB, она будет перпендикулярна плоскости ABC.

Таким образом, угол между плоскостью a и плоскостью ABC будет прямым углом, равным 90 градусам.