Прямоугольный треугольник с катетом 4 см вписан в окружность. Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около данной окружности.

Прямоугольный треугольник с катетам 4 см вписан в окружность. найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около данной окружности.

Объяснение:

1 СПОСОБ . ΔАВС-прямоугольный, ∠С=90° , значит опирается на дугу в 180°⇒АВ диаметр. Найдем гипотенузу АВ по т. Пифагора

АВ=√( 4²+4²)=4√2 (см). Поэтому R=1/2*АВ=2√2 (см).

Шестиугольник описан около данной окружности , значит для него 2√2 является радиусом вписанной окружности  r=2√2 cм.

По формуле r₆= ( a₆√3) /2   ⇒   2√2=( a₆√3) /2  или  a₆=(4√2) /√3 (см).

S=1/2*Р*r ,

S=1/2*(6*(4√2) /√3 )*√2=48/√3=16√3 (cм²).

2 СПОСОБ

S( прав.шестиугольника)=6*S(прав. треуг)=6*(а²√3/4)

Выразим S(прав.треуг) через высоту . Тк. высота в правильном треугольнике является медианой , то  a²-(a/2)²= h²   => 3a²/4=h²  ,

a²=4h² /3

S(прав. шестиугольника)=6*(h²/√3)  =>  

S(прав. шестиугольника)=6*(2√2)²/√3=6*8/√3=16√3 (cм²).