Помогите с геометрией


Дан равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС, SB - перпендикуляр к плоскости АВС. Прямые SA и SB образуют с плоскостью АВС угол 30 градусов. а) Докажите перпендикуляность плоскостей SAC и SВD, если D - середина АС. б) М - точка пересечения медиан треугольника SAС. Разложите вектор SM по векторам SA, SB, SC.​

а) Чтобы доказать перпендикулярность плоскостей SAC и SBD, мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности двух прямых и свойством перпендикулярности прямой и плоскости.

Дано, что прямые SA и SB образуют с плоскостью АВС угол 30 градусов. Поскольку треугольник АВС равнобедренный прямоугольный, угол между прямыми SA и SC также будет 30 градусов.

Следовательно, угол между прямыми SC и SB также будет 30 градусов (так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам).

Таким образом, прямые SC и SB образуют прямой угол, что означает, что плоскости SAC и SBD перпендикулярны друг другу.

б) Чтобы разложить вектор SM по векторам SA, SB и SC, мы можем воспользоваться свойствами векторов и геометрическими свойствами треугольника.

Поскольку M - точка пересечения медиан треугольника SAС, мы можем утверждать, что точка M делит медиану SA в отношении 2:1. То есть SM = 2/3 SA.

Также, по свойству медианы, точка M делит медиану SC в отношении 1:2. То есть SM = 1/3 SC.

Отсюда, мы можем записать:

SM = (2/3 SA) + (1/3 SC)

Также, поскольку прямые SA и SB перпендикулярны, мы можем записать:

SB = SC - BC

Тогда, подставляя это в разложение вектора SM, получаем:

SM = (2/3 SA) + (1/3 (SC - BC))

  = (2/3 SA) + (1/3 SC) - (1/3 BC)

Таким образом, вектор SM разлагается по векторам SA, SB и SC следующим образом:

SM = (2/3 SA) + (1/3 SC) - (1/3 BC)