На высоте PH параллелограмма ABCD выбрана точка L, которая делит высоту в отношении 2:5. Докажите, что сумма площадей треугольников ALB и DLC равна половине площади параллелограмма

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма и треугольников.

Пусть h - высота параллелограмма ABCD, точка L делит эту высоту на две части в отношении 2:5, то есть AL:LD = 2:5.

Площадь параллелограмма ABCD равна произведению длины основания AB на высоту h: S(ABCD) = AB * h.

Площадь треугольника ALB можно выразить как половину произведения длины основания AB на высоту, опущенную из вершины L на основание AB: S(ALB) = 0.5 * AB * h/7 (так как AL:LD = 2:5, то AL/LD = 2/5, и h = AL + LD = 7/5 * AL).

Аналогично, площадь треугольника DLC можно выразить как половину произведения длины основания CD на высоту, опущенную из вершины L на основание CD: S(DLC) = 0.5 * CD * h/3 (так как AL:LD = 2:5, то AL/LD = 2/5, и h = AL + LD = 3/5 * LD).

Теперь найдем сумму площадей треугольников ALB и DLC:

S(ALB) + S(DLC) = 0.5 * AB * h/7 + 0.5 * CD * h/3

= 0.5 * (AB * h/7 + CD * h/3)

= 0.5 * (AB * (AL + LD)/7 + CD * (AL + LD)/3)

= 0.5 * (AB * (7/5 * AL) + CD * (3/5 * LD))

= 0.5 * (7/5 * AB * AL + 3/5 * CD * LD).

Так как AB = CD (так как это противоположные стороны параллелограмма), а AL/LD = 2/5, то можно заменить AL и LD в последнем выражении:

S(ALB) + S(DLC) = 0.5 * (7/5 * AB * (2/5 * LD) + 3/5 * CD * LD)

= 0.5 * (14/25 * AB * LD + 3/5 * CD * LD)

= 0.5 * (2/25 * AB * LD + 3/5 * CD * LD)

= 0.5 * (2AB * LD/25 + 3CD * LD/5)

= 0.5 * (2AB * LD/25 + 15CD * LD/25)

= 0.5 * (2AB * LD + 15CD * LD)/25

= (2AB * LD + 15CD * LD)/50

= (AB + 15CD) * LD/50.

Теперь заметим, что AB + 15CD = AD (так как это противоположные стороны параллелограмма), поэтому:

S(ALB) + S(DLC) = AD * LD/50

= 0.5 * AD * LD/25.

Но LD = h - AL = h - 2/7 * h = 5/7 * h, поэтому:

S(ALB) + S(DLC) = 0.5 * AD * (5/7 * h)/25

= 0.5 * AD * h/35.

Так как площадь параллелограмма ABCD равна AB * h, то:

S(ABCD) = AB * h.

Таким образом, мы видим, что:

S(ALB) + S(DLC) = 0.5 * AD * h/35 = 0.5 * (AD * h)/70 = 0.5 * S(ABCD)/2 = 0.5 * S(ABCD).

Таким образом, сумма площадей треугольников ALB и DLC равна половине площади параллелограмма ABCD. Доказательство завершено.