доказать, что если каждая из диагоналей выпуклого четырехугольника делит его на равные треугольники, то этот четырехугольник - это параллелограмм.

Из равенства треугольников следует равенство противоположных сторон, но если противоположные стороны четырехугольника равны, то по признаку параллелограмма такой четырехугольник является  параллелограммом. что и требовалось доказать.