К графику функции f(x)=4x-x^2 проведены касательные в точках с абциссами х1=1 и х2=4 .найдите площадь треугольника, образованного этими касательными с осью Ох

Производная функции f(x)=4x-x^2 равна y' = 4 - 2x.

Находим уравнения касательных для точек х1 = 1 и х2 = 4.

х1 = 1.  y'(1) = 4-2 = 2, y(1) = 4 - 1 = 3.   yкас = 2(х - 1) + 3 = 2х + 1.

х2 =4.  y'(1) = 4-8 = -4, y(1) = 16 - 16 = 0.   yкас = -4(х - 4) + 0 = -4х + 16.

Находим координаты точки А пересечения касательной от х1 с осью Ох.     2х + 1 = 0,  х = -1/2.   Точка А((-1/2; 0).

Находим координаты точки В пересечения двух касательных между собой.     2х + 1 = -4х + 16,  6х =15, х = 15/6 = 5/2 = 2,5.   у = 2*2,5 + 1 = 6.

Точка В((2,5; 6).

Находим координаты точки С пересечения касательной от х2 с осью Ох.    -4х + 16 = 0,  х = 16/4 = 4.   Точка С((4; 0).

Так как основание треугольника совпадает с осью Ох, то его длина равна 4 - (-1/2) = 4,5.

Высота треугольника равна координате точки В по оси Оу, то есть 6.

Получаем ответ: S = (1/2)*4,5*6 = 13,5 кв.ед.