В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом а и прилегающим го- стрим углом а. Найдите объем пирамиды, если все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом.

Ответ:

1/12(а³×tgα×tgβ/cosα)

Объяснение:

АВС - треугольник, лежащий в основании пирамиды АВСD.

D - вершина пирамиды. ∠С=90°; ∠А=α; а - длина стороны АС;  β - угол наклона боковых ребер к основанию.

Решение.

1. Опускаем из вершины D перпендикуляр на основание - это высота пирамиды DH.  точка H - центр окружности, описанной около треугольника ABC, а т.к. этот треугольник прямоугольный, то H - середина гипотенузы AB.             Тогда АН=0,5×АВ.

3. Находим длину катета ВС и гипотенузы АВ.

ВС=АС×tgα=a×tgα;       AB=AC/cosα = a/cosα

3. Находим высоту пирамиды DH=AH×tgβ = 0,5×tgβ×a/cosα

4. Находим площадь основания  

S = 0.5×AC×BC = 0.5×a×a×tgα = 0.5×a²×tgα

5. Рассчитываем объем пирамиды  (0.5=1/2)

V = 1/3×(S×DH) = 1/3×(0.5×a²×tgα × 0,5×tgβ×a/cosα) = 1/12(а³×tgα×tgβ/cosα)