На одній стороні кута з вершиною в точці О позначено точки А і В, а на другій – точки С і D так, що ОА = ОС, АВ = СD, точка А належить відрізку ОВ, точка С – відрізку ОD. Доведіть, що промінь ОМ є бісектрисою кута ВОD, де М – точка перетину прямих АD і ВС.

OB =OA+AB =OC+CD =OD

△BOC=△DOA (по двум сторонам и углу между ними), ∠B=∠D

∠AMB=∠CMD (вертикальные)

В треугольниках BAM и DCM два угла равны, следовательно все углы равны, ∠BAM=∠DCM

△BAM=△DCM (по стороне и прилежащим к ней углам), AM=CM

△AOM=△COM (по трем сторонам), ∠AOM=∠COM, OM - биссектриса ∠AOC.

Или  

Прямые AC и BD отсекают на сторонах угла равные отрезки, следовательно прямые параллельны (теорема Фалеса), ACDB - трапеция. По теореме о четырех точках трапеции OM проходит через середину AC и является в равнобедренном треугольнике AOC медианой и биссектрисой.