Высота правильной треугольной пирамиды равна Н, а боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол α. Определить объем пирамиды.



спасибо

Проекция бокового ребра L на основание равна 2/3 высоты h основания.

Так как h = a√3/2, то (2/3)h = (2/3)*(a√3/2) = a√3/3.

Из прямоугольного треугольника с гипотенузой L и катетами: высота Н и (2/3)h, углом α находим:

(2/3)h = H/tgα,    a√3/3 = H/tgα,  отсюда а = (3Н)/(√3tgα) = √3H/tgα.

Теперь находим площадь основания:

So = a²√3/4 = (3H²√3)/(tg²α*4).

И получаем ответ:

V = (1/3)SoH = (1/3)(3H²√3)/(tg²α*4)*H = (H³√3)/(4tg²α).