В треугольнике АВС АВ=ВС, угол САВ=30 градусов, АЕ - биссектриса, ВЕ=10 см. Найдите площадь треугольника АВС

Из условия известно, что в треугольнике АВС, стороны равны между собой АВ = ВС, так же известно, что угол САВ = 30°, АЕ — биссектриса треугольника, а BE = 8 см.

Давайте вычислим площадь треугольника АВС.

Введем обозначения АВ = ВС = а и АС = b, тогда СЕ = а - 8.

Запишем теорему синусов:

а/sin 30° = b/sin 120° откуда выразим

b = а * sin 120°/ sin 30° = а√3;

Применим теорему о биссектрисе угла и составим пропорцию:

а/b = 8/(а - 8) или а/а√3 = 8/(а - 8).

Находим a:

а = 8(1 + √3).

Ищем площадь:

S треугольника ABC = 0,5 a^2 * sin 120° = 0,5 * 64(1 + √3)^2 * (√3/2) = 16√3(1 + √3)^2 = 32√3(2 + √3) см^2.