Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем шара вписанного в пирамиду.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2T4QVKJ).

Двугранный угол при основании есть линейный угол ДНА между апофемой и высотой АН треугольника в основании пирамиды. Треугольник ДОН прямоугольный, угол ОДН = (90 – 60) = 30⁰. Тогда катет ОН лежит против угла 30⁰, а значит, ОН = ДН / 2 = 4 / 2 = 2 см.

Тогда ДО² = ДН² - ОН² = 16 - 4 = 12. ДО = 2 * √3 см

Так как АВС равносторонний, то медианы АН в точке О делится в отношении ОА / ОН = 2 / 1.

Тогда ОА = 2 * ОН = 2 * 2 = 4 см, АН = ОА + ОН = 4 + 2 = 6 см.

В прямоугольном треугольнике АНС СН = АС / 2. Пусть СН = Х см, тогда АС = 2 * Х см.

По теореме Пифагора, 4 * Х² = АН² + Х².

3 * Х² = 36.

Х² = 36 / 3 = 12.

Х = СН = 2 * √3 см, тогда СВ = 2 * СН = 4 * √3 см.

Определим площадь основания пирамиды. Sосн = СВ * АН / 2 = 4 * √3 * 6 / 2 = 12 * √3 см².

Определим объем пирамиды.

V = Sосн * ДО / 3 = 12 * √3 * 2 * √3 / 3 = 24 см³.