1. Найти площадь прямоугольного треугольника АВС, если диаметр описанной около него окружности равен 13, а один из его катетов равен 5. 2. Сторона правильного треугольника равна 6. Найти радиусы вписанной в этот треугольник и описанной около него окружностей . 3. В трапецию АВСД вписана окружность, радиус которой равен 5. Найти площадь трапеции, если сумма ее боковых сторон равна 28. 4. Четырехугольник АВСД вписан в окружность. Два его угла равны 118 и 42 градуса. Найти меньший из оставшихся углов. 5. Около квадрата описана окружность с диаметром 5√ 2. Найти радиус вписанной в квадрат окружности.

1)Гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру описанной около него окружности, т.е. с = 5 * 2 = 10 см

По теореме Пифагора найдем второй катет:

b = √(c²-a²)=√(10²-8²)=√(100-64)=√36 = 6 cм.

ПЛощадь прямоугольного треугольника равна: S = a*b/2

S = 6 * 8 / 2 = 24 cм²

Ответ. S = 24 cм²

2)Центр O описанной окружности в равностороннем треугольнике лежит на пересечении его высот и точка O делит эти высоты в отношении 2:1, считая от вершины. То есть отрезки  – это фрагменты высот, которые также являются биссектрисами соответствующих углов. Учитывая, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60°, то угол CAO равен 30° и высота, исходящая из точки A равна

,

тогда радиус R=AO описанной окружности будет равен:

.

Ответ: 1.

3)У четырехугольника, описанного вокруг окружности, сумма противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований трапеции, равна 28:2=14. Так как длина средней линии трапеции равна половине суммы ее оснований, то имеем значение l=14:2=7.