В правильной пирамиде ABCD все ребра равны a. Вычислите: высоту пирамиды; площадь сечения, проходящего через высоту пирамиды и боковое ребро; косинус угла наклона боковой грани к основанию.

Пирамида правильная, значит в основании лежит правильный треугольник. ВСЕ ребра равны. Следовательно ВСЕ грани - равные правильные треугольники. Значит апофема (высота боковой грани) равна высоте основания пирамиды. Высота правильного треугольника находится по формуле (√3/2)*а, где а - сторона треугольника.

В нашем случае DH=DO=√3.

Или так: по Пифагору, например из треугольника ADH:

DH=√(AD²-AH²) или DH=√(4-1)=√3. (АН=0,5АС - так как DH - высота и медиана правильного треугольника АDС)

Итак, апофему нашли.

В правильной пирамиде высота из вершины проецируется в центр основания О.

В правильном треугольнике АВС высота ВН делится точкой о в отношении 2:1, считая от вершины В. Значит ОН= √3/3. (так как ВН=DH=√3).

Тогда из прямоугольного треугольника DOH найдем по Пифагору DO.

DO=√(DH²-OH²) или DO=√(3-3/9)=2√(2/3) = 2√6/3.

Ответ: апофема равна √3, высота пирамиды равна 2√(2/3) или 2√6/3.