ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА С КОНТРОЛЬНОЙ ПО ГЕОМЕТРИИ
ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ГЕОМЕТРИИ
ЗА 2019-2020 УЧЕБНЫЙ ГОД
Вариант 1
1. В треугольнике CDE известно, что ∠C = 28°, ∠E = 72°. Укажите верное неравенство:
1) DE > CD; 2) CD > CE; 3) CE > DE; 4) DE > CE.
2. Докажите, что AC = BD (рис. 70), если AD = BC и ∠DAB = ∠CBA.

3. В треугольнике ABC известно, что ∠A = 70°, ∠B = 50°. Биссектриса угла A пересекает
сторону BC в точке M. Найдите угол AMC.
4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной
окружности в отношении 2 : 7, считая от вершины угла при основании треугольника.
Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 110 см.
5. Точка O — середина биссектрисы AM треугольника ABC. На стороне AC отмечена
точка D такая, что DO ⊥ AM. Докажите, что DM ∥ AB.

1 В треугольнике CDE известно, что ∠C = 28°, ∠E = 72°. Укажите верное неравенство: 1) DE > CD; 2) CD > CE; 3) CE > DE; 4) DE > CE.Рассуждение: Cумма углов треугольника 180° ⇒ ∠D = 180 ° – 28 ° – 72 ° = 80 °. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона ⇒ Верно в варианте 3) СE > DE

2 Докажите, что AC = BD (рис. 70), если AD = BC и ∠DAB = ∠CBA.

Доказательство: Рассмотрим ΔDAB и ΔCBA:

AD = BC и ∠DAB = ∠CBA по условию ; AB — общая сторона.

Получается, что ΔDAB = ΔCBA по двум сторонам и углу между ними (1–й признак равенства Δ) ⇒ AC = BD, как соответственные стороны равных треугольников (лежат напротив равных углов). Доказано.

3 В треугольнике ABC известно, что ∠A = 70°, ∠B = 50°. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. Найдите угол AMC.

Решение: Биссектриса делит угол А пополам ⇒ ∠МАС = 35°.

∠C = 180° – (70° + 50°) = 60°.

∠АМС = 180° – (35° + 60°) = 85°

ОТВЕТ: ∠АМС = 85°.

№ 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 2:7, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 110 см.

Решение: Примем коэффициент пропорциональности отрезков, на которые боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности, за х, а основание — за у.

Тогда периметр треугольника равен 2•(2х + 7х) + у = 110.

По свойству точки касания 2х = у/2 или у = 4х (так как треугольник равнобедренный).

Подставим эту зависимость в первое уравнение.

2 • 9х + 4х = 110

22х = 110

х = 110/22 = 5.

Отсюда находим стороны треугольника:

— боковые стороны равны 2 • 5+7 • 5 = 10 + 35 = 45 (см)

— основание равно 110 – 2 • 45 = 110 – 90 = 20 (см)

ОТВЕТ: 45 см, 45 см, 20 см.

№ 5. Точка O — середина биссектрисы AM треугольника ABC. На стороне AC отмечена точка D такая, что DO ⊥ AM. Докажите, что DM || AB.

Решение и ОТВЕТ: (см. рис.)