В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла DAB и пересекает диагональ BD в точке K.
Найдите АК, если известно, что BC = 10, КС = 5 и около четырехугольника можно описать окружность

∠BAC = ∠CAD (AC - биссектриса)∠CBD = ∠DAC (опираются на общую хорду CD)∠CDB = ∠BAC (опираются на общую хорду BC)В ΔBCD: ∠CBD = ∠CDB ⇒ BC = CDCD = 10Рассмотрим ΔABK и ΔDCK:∠BAK = ∠BAC (K ∈ AC)∠CDK = ∠CDB (K ∈ DB)∠BAK = ∠CDK∠ABD = ∠DCA (опираются на общую хорду AD)∠ABD = ∠ABK (K ∈ BD)∠DCA = ∠DCK (K ∈ CA)∠ABK = ∠DCKΔABK и ΔDCK - подобны по двум углам:AB/CD = BK/KСAB⋅CK = CD⋅BK5AB = 10BKAB = 2BKРассмотрим ΔABK и ΔACD:∠BAK = ∠CAD∠ABK = ∠ACDΔABK и ΔACD - подобны по двум углам:AB/AC = BK/CDAB⋅CD = AC⋅BK2BK⋅CD = AC⋅BKAC = 2CD = 2⋅10 = 20AK = AC−KC = 20−5 = 15

15