Гомотетия, геометрия, композиция гомотетий
Окружности ω1 и ω2 касаются окружности Ω в точках A и B соответственно. Из точки A проведены касательные к ω2, из точки B проведены касательные к ω1. Окружность γ1 касается касательных из точки A, а также ω1 в точке C. Окружность γ2 касается касательных из точки B, а также ω2 в точке D. X и Y — точки пересечения общих внешних и внутренних касательных к ω1 и ω2 соответственно. Точки Z1 и Z2 — центры гомотетии с отрицательным коэффициентом, переводящие Ω в ω1 и ω2 соответственно. Какие тройки точек лежат на одной прямой?

A,C,X

B,D,Y

B,D,Z2

A,B,X

A,Y,Z1

B,Y,Z1

A,Y,Z2

B,Y,Z2

X,Z1,Z2

Y,Z1,Z2

А, С, Х - необязательно ибо они вообще из разных окружностей B, D, Y - тоже B, D, Z2 - тоже. A, B, X - Да, по теореме о трех колпаках: B - центр гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей ω2 в Ω. A - центр гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей Ω в ω1. X - центр гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей ω1 в ω2. Значит, произведение коэффициентов 1 значит теорема применима. A, Y, Z1 - Нет. B, Y, Z1 - Да, по теореме о трех колпаках у окружностей ω1, ω2 и Ω. У гомотетии с центром B коэффициент положительный, а у остальных двух — отрицательный. A, Y, Z2 - Аналогично. B, Y, Z2 - Нет. X,Z1,Z2 - Да, аналогично A, B, X, только A, B это центры гомотетий с положительными коэффициентами, переводящие ω1 и ω2 соответственно в Ω, а Z1 и Z2 - отрицательные.

Z₁≡A - центр гомотетии, переводящий Ω в ω₁.Z₂≡B - центр гомотетии, переводящий Ω в ω₂.B,D,Z₂ - на одной прямойA,Y,Z₁ - на одной прямойB,Y,Z₂ - на одной прямойАн, нет.А и B - это центры гомотетий с положительными коэффициентами.Где будут центры гомотетий с отрицательными коэффициентами - никак не соображу. Видимо, где-то на касательных, пересекающихся ниже линии, соединяющей центы окружностей ω₁ и ω₂.